Soit une personne qui lance balle une balle deux fois.
On admet que la personne se situe au point A(0,0).
Le premier lancer fait atterrir la balle en B(3,4).
Le second lancer fait atterrir la balle en C(6,8).
On peut alors résumer le tout par :
$$\overrightarrow{AB}=3\hat\imath+4\hat\jmath$$ $$\overrightarrow{AC}=6\hat\imath+8\hat\jmath$$On peut dès lors connaître la distance parcourue par chaque balle. On appelle cela magnitude en anglais.
On la représente par deux doubles barres de chaque côté.
Ainsi $||\overrightarrow{AB}||$ est la magnitude du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Pour la calculer il suffit d'appliquer le théorème de Pythagore.
Par exemple la magnitude $\overrightarrow{AB}$ est égale à :
$$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{3^2+4^2}$$ $$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{9+16}$$ $$||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{25}$$ $$||\overrightarrow{AB}||=5$$De même pour la magnitude $\overrightarrow{AC}$, on a :
$$||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{6^2+8^2}$$ $$||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{36+64}$$ $$||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{100}$$ $$||\overrightarrow{AC}||=10$$Il est dès lors possible de connaître la distance supplémentaire parcourue par la seconde balle en soustrayant leur magnitude respective :
$$||\overrightarrow{AC}|| - ||\overrightarrow{AB}|| = 10 - 5 = 5$$La seconde balle a donc parcourue une distance supplémentaire de 5 mètres.
Il est egalement possible de savoir à quelle distance se situe les deux balles l'une de l'autre.
Pour cela il suffit de soustraire les $\hat\imath$ et $\hat\jmath$ de chaque vecteur.
Ce qui nous donne :
$$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (6\hat\imath+8\hat\jmath)-(3\hat\imath+4\hat\jmath)$$ $$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 6\hat\imath - 3\hat\imath + 8\hat\jmath- 4\hat\jmath$$ $$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 3\hat\imath + 4\hat\jmath$$En appliquant le théorème de Pythagore, nous obtenons la magnitude de cette séparation entre \overrightarrow{AC} et \overrightarrow{AB}, ce qui nous donne :
$$||\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|| = \sqrt{3^2 + 4^2}$$ $$||\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|| = \sqrt{9 + 16}$$ $$||\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|| = \sqrt{25}$$ $$||\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|| = 5$$La distance entre $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ est donc également de 5 mètres.
Notons toutefois que même si nous obtenons 5 mètres dans les deux cas, il ne s'agit que d'une coïncidence. Les deux données étant en effet indépendantes l'une de l'autre.