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# Dérivées, fonctions et primitives

## Cours

Tableau des dérivées, fonctions et primitives
Dérivée $$f'(x)$$ Fonction $$f(x)$$ Primitive $$F(x)$$
$0$ $n$ $nx+c$
$nx^{n-1}$ $x^n$ $\frac{x^{(n+1)}}{n+1} + c$
$nyx^{n-1}$ $yx^n$ $\frac{(y)(x^{(n+1)})}{n+1} + c$
$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$ $\sqrt[n]{x}$ = $x^{\frac{1}{n}}$ $\frac{x^{(\frac{1}{n}+\frac{n}{n})}}{\frac{1}{n}+\frac{n}{n}} + c$
$\frac{-n}{x^{n+1}}$ $\frac{1}{x^n}$ $ln|x|+c$
$\frac{1}{x}$ = $x^{-1}$ $ln|x|$ $x(ln(x)-1)+c$
$\frac{1}{x*ln*n}$ $log_n|x|$ = $\frac{ln|x|}{ln|n|}$ $?$
$e^x$ $e^x$ $e^x+c$
$0$ $e^{n}$ $e^{n}x+c$
$ne^{nx}$ $e^{nx}$ $\frac{e^{nx}}{n}+c$
$e^{sin(x)}*cos(x)$ $e^{sin(x)}$ Doit être intégré par parts.
$\frac{e^{\sqrt{sin(x)}}*cos(x)}{2*\sqrt{sin(x)}}$ $e^{\sqrt{sin(x)}}$ Doit être intégré par parts.
$\frac{cos(x)}{2\sqrt{sin(x)}}$ $\sqrt{sin(x)}$ $-2E(\frac{1}{4}(\pi-2x)|2)+c$
$n^x*log(a)$ $n^x$ $\frac{a^x}{log(n)}+c$
$-\omega sin(\omega x+\phi)$ $cos(\omega x+\phi)$ $\frac{1}{\omega}sin(\omega x+\phi)+c$
$\omega cos(\omega x+\phi)$ $sin(\omega x+\phi)$ $-\frac{1}{\omega}cos(\omega x+\phi)+c$
$\omega sec^2(\omega x+\phi)$ $tan(\omega x+\phi)$ $-\frac{1}{\omega}log(cos(\omega x+\phi))+c$
$-sin(x)$ $cos(x)$ $sin(x)+c$
$cos(x)$ $sin(x)$ $-cos(x)+c$
$\frac{1}{cos^2(x)}$ = $1+tan^2(x)$ = $sec^2(x)$ $tan(x)$ $-log(cos(x))+c$
$\frac{-1}{sin^2x}$ = $-1-cot^2x$ $cot(x)$ $log(sin(x))+c$
$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ $arccos(x)$ $xcos^{-1}(x)-\sqrt{1-x^2}+c$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $arcsin(x)$ $\sqrt{1-x^2}+xsin^{-1}(x)+c$
$\frac{1}{1+x^2}$ $arctan(x)$ $xtan^{-1}(x)-\frac{1}{2}log(x^2+1)+c$

## Exemple

Tableau des dérivées, fonctions et primitives
Dérivée $$f'(x)$$ Fonction $$f(x)$$ Primitive $$F(x)$$
$0$ $8$ $8x$
$2*3x^{2-1}$ = $6x$ $3x^2$ $\frac{6x^3}{3}$ = $2x^3$
$\frac{1}{2\sqrt[2]{x^{2-1}}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\sqrt[2]{x}$ = $\sqrt{x}$ = $x^{(\frac{1}{2})}$ $\frac{x^{(\frac{1}{2}+\frac{2}{2})}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}} + c$ = $\frac{ x^{(\frac{3}{2})} } { \frac{3}{2} } + c$
$\frac{-5}{x^{5+1}}$ = $\frac{-5}{x^{6}}$ $\frac{1}{x^5}$ $?$